Александр Дмитриевич Воробьёв родился 11 сентября 1921 года в деревне Чернятино ныне Островского района Костромской области в семье крестьянина.

В Красной Армии с апреля 1941 года. Участник Великой Отечественной войны с 1943 года. Сражался на Воронежском и 1-м Украинском фронтах.

Стрелок 11-й мотострелковой бригады (10-й танковый корпус, 40-я армия, Воронежский фронт) красноармеец Александр Воробьёв 22 сентября 1943 года в составе группы разведчиков одним из первых переправился на правый берег Днепра.

В районе хутора Монастырёк (ныне в черте поселка городского типа Ржищев Киевской области Украины) разведчики уничтожили вражеский штаб, взяли в плен офицера и троих солдат, захватили важные документы.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, красноармейцу Воробьёву Александру Дмитриевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2799).

В 1946 году старшина Александр Дмитриевич Воробьёв демобилизован из Вооруженных Сил СССР. Работал начальником цеха деревообрабатывающего комбината в городе Бровары Киевской области Украины. Умер 26 декабря 1995 года.
Награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции, Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями.