Сергей Александрович Богомолов родился 12 октября 1925 года в деревне Ратушино Красносельского района Костромской области в крестьянской семье.
В 1943 году окончил Костромскую фельдшерско-акушерскую школу.

В Красную Армию призван 6 января 1943 года. По окончании 2-месячных курсов военных фельдшеров в городе Горбатов (ныне Нижегородской области) Сергею Александровичу Богомолову было присвоено первое офицерское звание. Затем в свои неполные 18 лет младший лейтенант медицинской службы был направлен на фронт. Боевое крещение получил в июле 1943 года у деревни Петрикино, западнее города Вязьма, где ещё необстрелянному военфельдшеру пришлось перевязывать раненых и носить их в укрытие.

В конце августа 1943 года в бою под Ельней младший лейтенант медицинской службы Богомолов вынес с поля боя более 30 раненых, за что был удостоен своей первой награды — ордена Красной Звезды.

Фельдшер дивизиона 12-го миномётного полка (43-я миномётная бригада, 3-я гвардейская артиллерийская дивизия, 5-й артиллерийский корпус прорыва, 33-я армия, Западный фронт) младший лейтенант медицинской службы Сергей Богомолов отличился в боях на правом берегу реки Черница Лиозненского района Витебской области Белоруссии.

24 февраля 1944 года противник при поддержке танков атаковал, а затем окружил миномётный дивизион. 38 воинов заняли круговую оборону, и в течение 14 часов отбивали яростные вражеские атаки. Как комсорг дивизиона Сергей Александрович Богомолов возглавил группу бойцов из 11-и человек и перед своим сектором отбил все атаки. По его команде солдаты вели огонь «залпами», стреляли в упор, а в критический момент боя вступили в рукопашную схватку. Отважный фельдшер лично уничтожил восемь гитлеровцев, но кроме этого выносил с поля боя своих раненых бойцов, а также поддерживал высокий моральный дух воинов-миномётчиков, участвовавших в отражении атак противника. После боя перед позицией советских воинов осталось лежать 90 вражеских трупов. Среди бойцов группы Богомолова в живых осталось лишь пять человек.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 июня 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм младшему лейтенанту медицинской службы Сергею Александровичу Богомолову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2295).

В составе войск 1-го Белорусского фронта герой-медик встретил окончание войны в поверженной столице Германии – Берлине.

После войны Сергей Александрович Богомолов продолжал службу в Вооружённых Силах. Работал в Киевском военно-медицинском училище и одновременно учился в вечерней средней школе, которую окончил в 1946 году. Получив аттестат о среднем образовании, Сергей Богомолов поступает в Военно-медицинскую академию имени С.М. Кирова. В 1951 году, по окончании академии, его оставляют на три года в клинике профессора Семёна Семёновича Гирголава специализироваться по хирургии. С 1954 года работал в Главном военном госпитале имени Н.Н. Бурденко: сначала ординатором хирургического отделения, с 1957 года — старшим врачом-специалистом-анестезиологом, с 1960 года — начальником отделения анестезиологии, с 1969 года — начальником отделения анестезиологии и реанимации.

С 1982 года полковник медицинской службы Сергей Александрович Богомолов вышел в отставку. Жил в городе-герое Москве. Скончался 18 октября 1999 года. Похоронен в Москве, на Троекуровском кладбище.

В родной Костроме его имя носит медицинский колледж, на здании установлена мемориальная доска.
Герою был посвящён стенд в музее медицинского училища № 4 в столице Латвии – городе Риге.