Геннадий Иванович Невельской родился в усадьбе Дракино, близ Солигалича 23 ноября (5 декабря) 1813 года.
Его отцом был Иван Алексеевич Невельской, потомственный морской офицер из старинного костромского дворянского рода, а мать Феодосья Тимофеевна принадлежала к старинному дворянскому роду Полозовых (известна тем, что подвергалась судебному преследованию за негуманное отношение к крепостным крестьянам).

В 1829 году Геннадий Невельской поступил в Морской кадетский корпус. Начальником Морского корпуса был в то время знаменитый мореплаватель адмирал Иван Фёдорович Крузенштерн, с именем которого связано первое российское кругосветное плавание. Среди кадетов тех времён особенной популярностью пользовалось не столько военное, сколько исследовательское, географическое направление обучения. Многие одноклассники Невельского впоследствии стали знаменитыми мореплавателями, исследователями, географами.

Ещё в Морском корпусе Невельской увлёкся географией Дальнего Востока. Не вполне однозначные сведения, приводимые в книгах и на картах, Геннадий Невельской подвергал сомнению. Им овладела жажда собственных географических исследований.

В 1832 году Невельской в числе лучших окончил Морской кадетский корпус и в числе избранных стал слушателем только что созданного Офицерского класса (прообраз будущей Военно-морской академии). 28 марта 1836 года мичман Невельской успешно сдал экзамены за курс офицерского класса и ему было присвоено звание лейтенанта флота.

Невельской был назначен в эскадру адмирала Федора Петровича Литке офицером на корабль «Беллона», затем служил на кораблях «Князь Варшавский» («Константин»), «Аврора» и «Ингерманланд». В эти годы он, как отлично подготовленный морской офицер, являлся вахтенным офицером при Его Высочестве Великом князе Константине Николаевиче. Цесаревич Константин, сын императора Николая I, в возрасте 9 лет был назначен генерал-адмиралом флота и определён под попечительство адмирала Литке. Фактическим попечителем юного Великого князя на многие годы стал Геннадий Невельской. Впоследствии это обстоятельство, возможно, послужило к тому, что самовольства Невельского при освоении Амура были не только прощены, но и одобрены императором Николаем I. Историк А. И. Алексеев предполагает, что Невельской в какой-то момент спас жизнь цесаревичу.

В 1846 году Невельской получил чин капитан-лейтенанта. Годом спустя он напросился на должность командира строившегося транспортного судна «Байкал», которое должно было отправиться на Камчатку с грузом.

Назначение на «Байкал» и направление на Дальний Восток Невельской рассматривал как возможность исполнить свой замысел: доказать, что в устье реки Амур можно войти из океана и что Сахалин — остров.

Заручившись поддержкой губернатора Восточной Сибири Николая Николаевича Муравьёва и начальника главного морского штаба князя Меншикова, Невельской, без Высочайшего разрешения, летом 1849 года достиг устья Амура и обнаружил пролив между материком и островом Сахалин. Ему удалось, открыть ряд новых, неизвестных прежде территорий и войти в низовья Амура. В 1850 году Невельской, уже в чине капитана 1 ранга, был вновь направлен на Дальний Восток, однако с предписанием «не касаться устья Амура». Но, заботясь уже не столько о географических открытиях, сколько об интересах Российского государства, Невельской, вопреки предписанию, основал в устье Амура так называемый Николаевский пост (ныне город Николаевск-на-Амуре), подняв там российский флаг и объявив о суверенитете России над этими землями.

Самоуправные действия Невельского вызвали недовольство и раздражение в правительственных кругах России. Так называемый Особый Комитет счёл его поступок дерзостью, достойной разжалования в матросы, о чём и было доложено императору Николаю I. Однако, выслушав доклад Муравьева, Николай I назвал поступок Невельского «молодецким, благородным и патриотическим», и даже наградил его орденом Св. Владимира 4-й степени, а на доклад Особого Комитета наложил знаменитую резолюцию: «Где раз поднят русский флаг, там он спускаться не должен».

В 1851 году Невельской был вновь направлен на Дальний Восток. В последующие годы Невельской и его подчинённые осуществили детальное исследование берегов устья Амура, Амурского лимана и Татарского пролива, а также континентальных частей Амурского и Уссурийского края и острова Сахалин. При этом капитан 1 ранга, а с августа 1854 года контр-адмирал Невельской от имени императора устанавливал власть России в дальневосточных территориях.

В середине 1850-х годов началось масштабное освоение Россией Амурского края под руководством губернатора Муравьёва. Миссия Невельского на этом была исчерпана, и он возвратился в Санкт-Петербург.

Вернувшись в Санкт-Петербург, Геннадий Невельской более не участвовал в морских плаваниях. Значительную часть жизни он посвятил систематизации материалов, собранных им в ходе Амурской экспедиции: он участвовал в уточнении карт, консультировал политиков и предпринимателей. Был действительным членом Императорского Русского географического общества.

В 1864 году Невельскому был присвоен чин вице-адмирала, в 1874 году — полного адмирала.

Здоровье Невельского, подорванное в результате участия в Амурской экспедиции, периодически ухудшалось. Временами он был вынужден выезжать за границу для лечения.

Геннадий Иванович Невельской скончался 17 апреля 1876 в Санкт-Петербурге, похоронен на Новодевичьем кладбище.

Имя адмирала увековечили в названиях улиц Солигалича и дальневосточных городов, Морской государственный университет во Владивостоке также назван его именем, памятники Невельскому украшают многие города Дальнего Востока.