Леонид Ильич Елькин родился 6 марта 1916 года в деревне Малый Завраг, ныне в составе Вохомского района Костромской области.

С 1924 года проживал с семьей в городе Великий Устюг Вологодской губернии. Окончил авиационный техникум в Москве.

В Военно-Морском Флоте с 1935 года. Окончил Ейское военно-морское авиационное училище имени И.В.Сталина в 1937 году. С декабря 1937 года – младший летчик 45 отдельной морской разведывательной эскадрильи, с сентября 1939 года – 118-го морского ближнеразведывательного авиационного полка ВВС Северного флота. В 1939-40 годах принимал участие в советско-финляндской войне в составе 118-го авиационного полка Северного флота, произвёл 85 вылетов на разведку военно-морских баз и коммуникаций противника. С 1940 года – командир звена в этом полку, в апреле 1941 года понижен до должности старшего летчика.

В начале Великой Отечественной войны Леонид Ильич Елькин – на фронте. С июля 1941 года – командир звена 4-й эскадрильи 118-го отдельного разведывательного авиационного полка. За годы войны произвёл 254 боевых вылета, из них 129 ночью на бомбежку войск противника и 125 днём на дальнюю и ближнюю разведку коммуникаций и военно-морских баз врага. Все боевые вылеты Леонида Ильича Елькина были успешными и отличались высокой эффективностью. По его разведывательным данным торпедоносная авиация Северного флота потопила большое количество вражеских кораблей и транспортов. Летал Леонид Ильич Елькин и на выполнение заданий по перевозке раненых, по доставке боезапаса и продовольствия спецгруппам, находившимся в глубоком тылу противника. Лётчик неоднократно встречался в воздухе с самолётами противника и выходил из боевых столкновений победителем.

При выполнении задания командующего Северным флотом по изысканию новых аэродромов в районе Новой Земли 27 июля 1942 года в губе Малые Кармакулы самолёт Леонида Ильича Елькина был обстрелян немецкой подводной лодкой. Лётчик получил тяжёлые ранения в голову, лишился одного глаза. После госпиталя он вернулся в свой полк и, несмотря на то, что был признан негодным к лётной службе, добился разрешения продолжать полёты. С марта 1943 года – помощник командира, с сентября 1943 года – командир авиационной эскадрильи 118-го отдельного разведывательного авиационного полка ВВС Северного флота.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 января 1944 года за доблесть и мужество, проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, за умелое воспитание подчиненных и образцовое руководство эскадрильей, капитан Леонид Ильич Елькин удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2647).

29 февраля 1944 года капитан Леонид Ильич Елькин не вернулся с боевого задания, производя разведывательный вылет в район Нарвика (Норвегия).

Награждён орденом Ленина (22.01.1944), двумя орденами Красного Знамени (13.05.1942; 17.09.1942), орденом Красной Звезды (13.08.1944), иностранной наградой – орденом Британской империи 5-й степени (Великобритания, 1944).

Бюст Леонида Ильича Елькина в числе 6-и лётчиков-североморцев, удостоенных звания Героя Советского Союза, установлен на Аллее героев-авиаторов (малой), открытой 14 августа 1982 года на улице Панина в посёлке Сафоново-1 ЗАТО город Североморск Мурманской области (скульптор Э.И. Китайчук; архитектор В.В. Алексеев).

Фамилия Леонида Ильича Елькина выбита на каменных плитах мемориала в числе 898 фамилий тех, чьих могил нет на земле, — в память лётчиков, штурманов, стрелков-радистов ВВС Краснознамённого Северного флота погибших в море в 1941-1945 годах, открытого 17 августа 1986 года на берегу Кольского залива в посёлке Сафоново (скульптор Э.И. Китайчук, архитектор В.В. Алексеев).