Борис Дмитриевич Щапов родился 17 февраля 1921 года в городе Нерехта ныне Костромской области в семье рабочего-литейщика.

В начале 1930-х годов с родителями переехал в город Ярославль. После восьмого класса, по примеру отца, пошёл работать на завод. Сначала трудился токарем на автозаводе, затем перешёл в отдел контрольно-измерительных приборов шинного завода. В 1939 году поступил в Ярославский аэроклуб, по окончанию которого в числе лучших выпускников был направлен в лётное училище.

В Красной Армии с 1940 года. Начало Великой Отечественной войны встретил курсантом Балашовской военной авиационной школы. По окончании учёбы просился в строевую часть, но получил направление пилотом-инструктором в Оренбургскую (Чкаловскую) школу лётчиков, затем был переведён в Бугурусланскую школу. Два года лётчик-инструктор Щапов находился в тылу и занимался подготовкой молодых пилотов для фронта. Только летом 1943 года, после известия о гибели под Харьковом младшего брата, добился отправки в действующую армию.

В июле 1943 года прибыл в 800-й (с 5 февраля 1944 года - 144-й гвардейский) штурмовой авиационный полк. Боевое крещение получил в боях на Курской дуге. Уже через две недели, за 10 боевых вылетов на штурмовку во время июльского немецкого наступления, командир дивизии генерал-майор авиации Агальцов вручил младшему лейтенанту Щапову первую боевую награду - орден Отечественной войны 2-й степени.

Когда наши наземные войска, освободив Белгород, подходили к Харькову, на счету лётчика-штурмовика Щапова было уже 60 боевых вылетов. Во время успешного наступления войск Степного фронта к Днепру, в сентябрьские дни 1943 года молодой пилот Борис Щапов показал выдающиеся образцы штурмовых атак по наземным целям. Вместе с товарищами он участвовал в штурмовке станций Люботин, Кременчуг, Користовка, Долинская, где лично уничтожил 3 паровоза, 8 вагонов и взорвал 5 бензоцистерн.

24 сентября группа из 12-и штурмовиков под командой гвардии капитана Пошевальникова вылетела на штурмовку вражеской переправы через Днепр в районе Кременчуга. Щапов летел ведомым командира. При заходе группы на цель он заметил, крупнокалиберную зенитную батарею из четырёх орудий, ведущую огонь по «илам». Проявляя разумную инициативу, сметку и мужество, Щапов первым стремительной атакой заставил её замолчать. Но и самолёт Щапова получил три попадания, а сам пилот осколками снарядов был ранен в лицо. Несмотря на повреждение самолёта и ранение, лётчик не вышел из боя, он продолжал выполнять задание, защищая от напавших истребителей своего ведущего. Его смелый манёвр позволил группе накрыть цель и без потерь вернуться домой.

Штурмовик с бортовым номером «10» хорошо знали наземные части, особенно воины 5-й гвардейской армии, наступление которых часто приходилось поддерживать авиаторам. Делая в день по 2-3 боевых вылета, выбирая самые важные цели, мешающие нашей пехоте, лётчик дерзко на глазах пехотинцев снижался до бреющего и в упор расстреливал врага. Его меткие бомбоштурмовые удары позволяли пехоте продвигаться вперёд с наименьшими потерями. К декабрю 1943 года грудь отважного пилота украсили ещё два ордена - Славы 3-й степени и Красного Знамени.

В январе 1944 года не считаясь со сложными метеоусловиями, Щапов вместе со своими товарищами в любых погодных условиях, поднимался в воздух и выполнял самые ответственные задания. При сильном противодействии зенитной артиллерии «ил» Щапова производил по 4-5 заходов и прицельно уничтожал действующие полевые орудия, технику и живую силу противника. Только под Кировоградом за 18 боевых вылетов Борис Щапов лично уничтожил 7 танков, 5 орудий, 17 автомашин, 3 склада с боеприпасами, 6 автоцистерн с горючим и подавил огонь трех зенитных батарей. В семи воздушных боях с истребителями противника лётчик сбил один Ме-109 и одни FW-190. Ещё один «мессер» им был сбит в воздушном бою в районе Знаменки.

В январе 1944 года войска 1-го и 2-го Украинских фронтов успешно осуществили окружение Корсунь-Шевченковской группировки немцев. Только в первые дни окружения под Корсунь-Шевченковским Ил-2 с бортовым номером «10» сжёг 4 танка, 23 автомашины, 5 бензоцистерн, уничтожил 7 орудий и большое количество гитлеровцев. В феврале, Борис Щапов ежедневно вылетал на разведку вражеских посадочных площадок в районе Корсуня, куда приземлялись транспортные Ю-52, а затем вместе с товарищами шел на штурмовку их. За четыре боевых вылета он разведал, а затем вместе со своим звеном удачно накрыл вражеских «воздушных извозчиков». На площадках под Корсунью звеном было уничтожено 11 немецких самолётов, из них четыре Ю-52 лично сжёг на земле гвардеец Щапов.

К марту 1944 года, менее чем за год пребывания на фронте, гвардии младший лейтенант Щапов совершил 133 боевых вылета на штурмовку войск противника. В 53-х воздушных боях и на земле уничтожил 8 вражеских самолетов. За проявленное мужество и самоотверженность, за постоянный героизм в боях при освобождении Советской Украины, за нанесение большого урона противнику в технике и живой силе, за участие в боях по уничтожению окруженной группировки врага в районе Корсунь, за личную высокую боевую выучку, дисциплинированность и организованность командование полка представило младшего лейтенанта Щапова к званию Героя Советского Союза. 16 мая 1944 года наградной лист на Б. Щапова подписал командующий 5-й воздушной армией генерал-полковник авиации Горюнов, и лист пошёл выше - в штаб фронта - к генералу армии Малиновскому.

Тем временем линия фронта передвинулась далеко на запад - советские войска вели бои на территории Румынии. 30 мая 1944 года девятка Ил-2 которую вел командир эскадрильи гвардии капитан Пошевальников, вылетела для нанесения штурмового удара по танковой колонне врага севернее города Яссы. Правым звеном командовал Борис Щапов. Штурмовики появились у цели внезапно. Зенитчики, выпустив четыре снаряда, были подавлены огнем "илов". Но один из снарядов попал в самолет Щапова. Падая в заросшую тростником речку, Ил-2 взорвался в воздухе. Вместе с командиром погиб воздушный стрелок Николай Дружинин.

Похоронен в поселке Котул Иван, жудец Яссы, Румыния.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии младшему лейтенанту Борису Дмитриевичу Щапову присвоено звание Героя Советского Союза.

Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 2-й степени, Славы 3-й степени.
Именем Героя названы улицы в городах Нерехта и Ярославль. На здании школы, аэроклуба и доме, в котором он жил, установлены мемориальные доски.