Александр Васильевич Скворцов родился 17 августа 1901 в деревне Сонино, ныне Костромского района Костромской области, в семье крестьянина.

В 1919 году добровольцем ушел в Красную Армию и был направлен на учебу на Костромские пехотные курсы комсостава. Курсантом участвовал в боях Гражданской войны, сражался под Царицыным, защищал Петроград от войск Юденича, штурмовал Перекоп. После войны остался в армии.

В 1921 году окончил Армавирские пулеметные курсы комсостава, в следующем году – Костромские пехотные курсы. Службу проходил в пехотных частях Приволжско-Уральского и Московского военных округов. Был командиром взвода, роты, квартирмейстером полка, комиссаром батальона.

В октябре 1933 года направлен на дальний восток, где назначен комиссаром 26-го отдельного строительного батальона Особого строительного корпуса. Участвовал в закладке и затем в строительстве города Комсомольск-на-Амуре. С июня 1936 года – инструктор политотдела Хабаровского гарнизона, затем проходил службу в штабе 2-й Отдельной Краснознаменной армии. В 1940 году окончил курсы "Выстрел" и назначен начальником группы контроля при Военном совете Дальневосточного фронта. С сентября 1940 года командовал 70-м стрелковым полком 3-й Крымской стрелковой дивизии Дальневосточного фронта. В этой должности встретил начало Великой Отечественной войны, первые месяцы войны оставался на Дальнем Востоке.

В июле 1942 года полковник Скворцов был назначен командиром 204-й стрелковой дивизии, сформированной из воинов-дальневосточников. В августе 1942 года дивизия под его командованием прибыла на фронт. В составе 64-й армии вела тяжелые бои на южных подступах к Сталинграду. Только за первую неделю боев воины дивизии истребили около 3200 гитлеровских солдат и офицеров, уничтожили 57 танков, 58 автомашин. За умелое руководство боем и проявленную отвагу командир дивизии полковник Скворцов в ноябре был награжден первым боевым орденом – Красного Знамени.

Воины-дальневосточники стояли насмерть у стен Сталинграда все время обороны города, участвовали в окончательном разгроме гитлеровской группировки. В шестимесячных боях дивизия Скворцова уничтожила тысячи вражеских солдат и офицеров, 227 танков, взяла в плен 6028 гитлеровцев. Приказом Народного комиссара обороны №104 от 1 марта 1943 г. ей было присвоено звание 78-й гвардейской, а комдив был награжден вторым орденом Красного Знамени.

После ликвидации армии Паулюса дивизия была включена в состав Воронежского, затем Степного фронта, участвовала в Белгородско-Харьковской наступательной операции. За наступательные бои на Украине, за освобождение множества сел и городов в августе 1943 года командир 78-й гвардейской дивизии генерал-майор Скворцов был награжден третьим орденом Красного Знамени, а вскоре получил и полководческий орден Кутузова 2-й степени.

Гвардейцы Скворцова в составе 7-й гвардейской армии Степного фронта одними из первых подошли к Днепру. Использовав данные разведки, командир дивизии заранее наметил места возможных переправ. В ночь на 25 сентября 1943 года, используя подручные средства, воины дивизии одними из первых форсировали водную преграду у села Домоткань (Верхнеднепровский район Днепропетровской области). К 6 часам утра 25 сентября на правый берег переправился 225-й гвардейский стрелковый полк, шесть 76-миллиметровых и четыре противотанковых орудия. А вскоре и вся дивизия была на западном берегу Днепра, отвоевала обширный плацдарм и организовала крепкую оборону. В этих боях за удержание плацдарма А.В. Скворцов показал себя энергичным и грамотным командиром.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 года за успешное форсирование реки Днепр, прочное закрепление и расширение плацдарма на западном берегу реки Днепр и проявленные при этом отвагу и геройство гвардии генерал-майору Александру Васильевичу Скворцову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

С декабря 1943 года находился на лечении в госпитале Москвы, с февраля 1944 года - на учебе в Высшей военной академии имени К.Е. Ворошилова.

В апреле 1945 года генерал-майор Скворцов назначен командиром 26-го стрелкового корпуса 1-й Краснознаменной армии Дальневосточного фронта. Принимал участие в войне с Японией. Стрелковый корпус под его командованием в составе 2-го Дальневосточного фронта участвовал в Харбино-Гиринской наступательной операции. Части корпуса прорвали укрепления противника, с ходу форсировали реку Мулинхэ и овладели городом Муданьцзян, где захватили богатые трофеи. За бои в Маньчжурии Скворцов был награжден орденом Суворова 2-й степени, а 26-й стрелковый корпус получил почетное наименование Харбинского.

После войны продолжал командовать этим корпусом. В сентябре 1946 года назначен командиром 11-го стрелкового корпуса Московского военного округа.

19 декабря 1948 года гвардии генерал-майор А.В. Скворцов скончался в военном госпитале в Москве после продолжительной и тяжелой болезни (туберкулез). Тело его было доставлено в Кострому и здесь похоронено на солдатском кладбище 23 декабря. В настоящее время могила находится у мемориала «Вечный огонь».

На доме, где жил Герой, установлена мемориальная доска, его имя носит улица в Костроме.